Den Mittelwert berechnen
Das arithmetische Mittel und seine Grenzen
Wer den Mittelwert berechnen möchte, meint damit meist das arithmetische Mittel. Hier erfährst du, wie du die passende Formel anwendest, ein Beispiel Schritt für Schritt löst und das Ergebnis richtig einordnest. Außerdem siehst du, wann Median oder Modalwert aussagekräftiger sind.
Definition: Was ist das arithmetische Mittel?
Das arithmetische Mittel nennt man häufig auch Mittelwert; mathematisch wird es mit dem Symbol x̄ dargestellt. Dieses Maß fasst mehrere Messgrößen zu einer einzigen Kennzahl zusammen. Man ermittelt es, indem man alle Werte summiert und die Gesamtsumme durch ihre Anzahl teilt. Es ist ein häufig verwendetes Lagemaß und lässt sich als rechnerischer Schwerpunkt eines Datensatzes beschreiben. Sinnvoll ist die Methode bei einem metrischen Skalenniveau. Bei ordinalskalierten Daten kann der Median geeigneter sein; bei nominalskalierten Daten kommen andere Häufigkeitsauswertungen in Betracht.
Formel für den Mittelwert
Mathematisch drückt man dies als x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n aus. Dabei stehen die einzelnen x-Werte für die Messwerte und n für deren Anzahl. Konkret bedeutet das: Zuerst summierst du alle beobachteten Werte und teilst sie anschließend durch die Gesamtzahl. Liegt eine Häufigkeitsverteilung vor, multiplizierst du jeden Wert zunächst mit seiner Häufigkeit. Danach addierst du die Produkte und teilst die Summe durch die Gesamtzahl. So erhältst du den gewichteten Mittelwert.
Arithmetisches Mittel Schritt für Schritt berechnen
Das folgende Beispiel zeigt den vollständigen Rechenweg für die Werte 4, 8, 6, 5, 3:
- 1. Summen bilden: 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26
- 2. Stückzahl feststellen: n = 5
- 3. Dividieren: 26 / 5 = 5,2
Dadurch ergibt sich ein arithmetisches Mittel von 5,2. Dieser Wert fasst die fünf einzelnen Beobachtungen zu einem gemeinsamen Durchschnitt zusammen. Da jeder Wert mit demselben Gewicht in die Rechnung eingeht, genügt es, die Gesamtsumme durch die Anzahl der Werte zu teilen.
Grenzen des Mittelwerts bei Ausreißern
Ein arithmetisches Mittel ist empfindlich gegenüber Ausreißern, weil jeder Messwert vollständig in die Summe einfließt. Schon ein einzelner extremer Wert kann den Durchschnitt deshalb deutlich verschieben. Das wird bei den Gehältern 2.000, 2.100, 2.200 und 30.000 sichtbar: Das Mittel liegt bei 9.075 €, obwohl dieser Betrag keinen typischen Wert der Reihe darstellt. In einer solchen Verteilung kann der Median eine robustere Kennzahl für die Lage sein. Sieh dir daher die Daten und mögliche Extremwerte an, bevor du dich für ein Lagemaß entscheidest.
Häufige Fehler beim Berechnen und Berichten
Überprüfe zunächst, ob sich deine Messwerte eignen, um daraus einen Mittelwert abzuleiten. Für Rang- und Nominalskalen ist das Mitteln in der Regel nicht geeignet. Häufige Fehler sind übersehene Ausreißer und voreiliges Runden innerhalb des Prozesses. Rechne mit den erhobenen Werten weiter und runde erst das Ergebnis, sofern die geforderte Genauigkeit nichts anderes verlangt. Bei statistischen Untersuchungen nennt man den Mittelwert meist zusammen mit der Standardabweichung. Dadurch zeigt sich nicht nur die zentrale Position, sondern ebenfalls die Streuung der Werte. Trotz dieser Einschränkungen ist das arithmetische Mittel ein häufig verwendetes Lagemaß.
Die Wahl des geeigneten Lagemaßes für deine Fragestellung hängt von den Datentypen und deren Verteilung ab. Ergänzend kannst du den Median berechnen oder den Modalwert bestimmen. Die deskriptive Statistik ordnet diese Kennzahlen systematisch ein, während der Statistik-und-SPSS-Hub die Ergebnisse in einem größeren Kontext darstellt. Anschließend kann ein Korrekturlesen die Berichtsweise prüfen.