Die Normalverteilung verstehen
Die Glockenkurve der Normalverteilung und ihre Faustregel
Die Normalverteilung ist ein wichtiges Modell der Statistik und eine Annahme vieler klassischer Verfahren. Der Beitrag erklärt die Glockenkurve, die Funktion von Mittelwert und Standardabweichung sowie die 68-95-99-Regel. Er zeigt außerdem, wie sich die Annahme der Normalverteilung grafisch und mit statistischen Tests prüfen lässt.
Definition und Merkmale der Normalverteilung
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist symmetrisch und glockenförmig. Ihre Form wird durch zwei Kennwerte bestimmt: den Mittelwert μ als Lageparameter und die Standardabweichung σ als Streuungsparameter. Bei ihr stimmen Mittelwert, Median und Modalwert überein.
Die 68-95-99-Regel
Für eine normalverteilte Zufallsvariable geben die Abstände vom Mittelwert μ in Einheiten der Standardabweichung σ folgende Wahrscheinlichkeiten an:
- rund 68 % im Bereich μ ± 1σ
- rund 95 % im Bereich μ ± 2σ
- rund 99,7 % im Bereich μ ± 3σ
Dadurch lässt sich leicht einschätzen, wo einzelne Messwerte liegen und welche Beobachtungen als ungewöhnlich gelten könnten.
Der z-Wert und die Standardnormalverteilung
Über die Formel z = (x minus μ) / σ lässt sich jeder Wert in einen z-Wert umrechnen. Handelt es sich bei der ursprünglichen Größe um eine Normalverteilung, bilden die transformierten Werte eine Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Diese Standardisierung ermöglicht Vergleiche verschiedener Datensätze und das Nachschlagen von Wahrscheinlichkeiten. Viele statistische Verfahren, einschließlich des Konfidenzintervalls, basieren darauf.
Zentrale Bedeutung der Normalverteilung
Bei t-Tests betrifft die Normalitätsannahme je nach Variante die Werte innerhalb der Gruppen oder die paarweisen Differenzen; bei der linearen Regression bezieht sie sich für die klassische Inferenz auf die Fehler beziehungsweise Residuen. Die jeweils relevante Verteilung kannst du grafisch mit einem Histogramm oder Q-Q-Plot sowie mit Tests wie dem Shapiro-Wilk-Test überprüfen. Bei ausreichend großen Stichproben kann der zentrale Grenzwertsatz die Verteilung von Mittelwerten unter weiteren Voraussetzungen annähern; ob Abweichungen unkritisch sind, hängt jedoch vom Verfahren, der Stichprobengröße und den Daten ab.
Häufige Fehler
Ein typischer Fehler besteht darin, anzunehmen, alle Daten seien normalverteilt, obwohl viele reale Verteilungen schief sind. Weitere Fehler sind, die 68-95-99-Regel auf nicht normalverteilte Daten anzuwenden und den Shapiro-Wilk-Test bei sehr großen Stichproben zu überinterpretieren, obwohl bereits winzige Abweichungen signifikant werden.
Weitere Statistik-Grundlagen bieten die Beiträge zur Standardabweichungsberechnung und zum Konfidenzintervall. Die deskriptive Statistik erläutert grundlegende Kennwerte, und der Statistik-und-SPSS-Hub verweist auf weitere Themen. Ein Korrekturlesen kann die sprachliche Berichtsweise prüfen.